Делимость многочленов

Определение: Делимость многочленов

Ненулевой многочлен $g(x)$ делит ${} f(x)$, если существует такой многочлен $q$ что: $f = qg$

Свойства делимости многочленов

Пусть $F$ — поле. Для $f, g, h, d, a, b \in F[x]$:

**Рефлексивность**

$f \mid f$ для $f \neq 0$. Д-во: $f = f \cdot 1$. $\square$

**Транзитивность**

Если $g \mid f$ и $h \mid g$, то $h \mid f$. Д-во: $f = g q_1 = (h q_2) q_1 = h (q_2 q_1)$. $\square$

**Линейность**

Если $d \mid f$ и $d \mid g$, то $d \mid (af + bg)$. Д-во: $f = d q_1, g = d q_2 \implies af + bg = a(d q_1) + b(d q_2) = d(a q_1 + b q_2)$. $\square$

**Умножение на многочлен**

Если $g \mid f$, то $g \mid (fh)$. Д-во: $f = gq \implies fh = (gq)h = g(qh)$. $\square$